Как вы мне и подсказывали, беда с логином в правах. Я не знаю как так получилось с этими правами, что в один прекрасный момент времени у меня они поменялись, но факт остаётся фактом. И мне достаточно было посмотреть ещё и логи авторизации, что бы увидеть:

# tail -f /var/log/auth.log
Dec 10 16:56:05 ibahost sshd[16023]: Authentication refused: bad ownership or modes for directory /root/.ssh
Dec 10 16:56:59 ibahost sshd[16023]: Accepted password for root from 172.16.212.187 port 41485 ssh2

После этого я открыл аналогичный каталог на другом сервере, где всё работает и увидел:

drwxr-xr-x 25 root root 4096 Дек 10 16:51 root
drwx—— 2 root root 4096 Авг 13 20:45 .ssh

При помощи chmod сделал такие же права на сломанном сервере и всё заработало. Причём, переделывать пришлось права и на root, и на .ssh.

Кстати, подскажите как сделать команду ls -l /root так, что бы она показала мне конкретно одну строчку каталог root с правами. И ещё как получить в списке права в виде цифр, так что бы не мучаться с буквами, а прямо цифрой зачмодить аналогичные права куда надо.